Cara Melengkapi Tabel Kebenaran Logika Matematika

Tabel kebenaran memuat semua daftar kemungkinan nilai kebenaran dari kombinasi nilai kebenaran suatu proposisi. Proposisi merupakan pernyataan yang dapat bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat bernilai keduanya. Nilai kebenaran untuk proposisi tunggal/atomik cukup mudah dilakukan. Contohnya pada proposisi tunggal: Bulan dapat memancarkan cahaya sendiri. Contoh proposisi tunggal tersebut hanya memiliki satu nilai kebenaran yaitu salah, karena bukan tidak mempunyai cahaya sendiri. Proposisi majemuk memiliki lebih dari proposisi tunggal. Bagaimana nilai kebenaran untuk proposisi majemuk? Sobat idschool akan dapat lebih mudah melihatnya melalui tabel kebenaran.

Nilai kebenaran pada proposisi majemuk dipengaruhi oleh proposisi tunggal. Nilai kebenaran pada proposisi majemuk tersebut mengikuti aturan penalaran pada kata penghubung yang digunakan. Kata penghubung dalam proposisi majemuk dapat berupa konjungsi (dan), disjungsi (atau), implikasi (jika … maka …), dan biimplikasi (… jika dan hanya jika …). Cara sederhana yang dapat digunakan untuk menentukan nilai kebenaran pada proposisi majemuk adalah dengan membuat tabel kebenarannya.

Tabel Operator Logika Matematika

Melalui tabel kebenaran dapat terlihat nilai kebenaran proposisi majemuk untuk kombinasi nilai kebenaran proposisi tunggal yang berbeda. Bagaimana caranya? Cara melengkapi tabel kebenaran dalam logika matematika ini akan menjadi ulasan utama pada bahasan ini.

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Penyataan, Proposisi, dan Nilai Kebenaran

Sebuah pernyataan dapat termasuk sebagai proposisi atau bukan proposisi. Nilai kebanaran dari proposisi hanya dapat bernilai benar atau salah. Sebuah pernyataan yang bisa jadi benar atau bisa jadi salah bukan merupakan proposisi.

Sebagai contoh pernyataan yang termasuk proposisi dengan nilai kebenaran benar. Misalnya, Indonesia adalah nama sebuah negara. Diketahui secara umum bahwa Indonesia merupakan sebuah nama negara yang merdeka sejak 17 Agustus 1945. Jadi, contoh kalimat tersebut merupakan sebuah pernyatataan sekaligus preposisi dengan nilai kebenaran benar.

Sekarang perhatikan contoh pada kalimat bilangan prima terkecil adalah satu. Diketahui bahwa bilangan prima terkecil adalah dua. Sehingga pernyataan tersebut merupakan preposisi dengan nilai kebenaran salah. Selanjutnya perhatikan contoh pernyataan sebuah bilangan asli memiliki nilai lebih besar dari 5. Pernyataan tersebut akan bernilai benar jika bilangan yang dimaksud adalah 1, 2, 3, dan 4. Namun pernyataan tersebut akan bernilai salah jika bilangan yang dimaksud adalah 6, 7, 8, 9, dan seterusnya. Pernyataan tersebut dapat memiliki dua nilai kebenaran. Sehingga, kalimat tersebut bukan merupakan preposisi.

Pernyataan Proposisi dan Nilai Kebenaran

Bagaimana melihat nilai kebenaran suatu proporsi majemuk? Bahasan lebih lanjut cara melangkapi tabel kebenaran dalam logika matematika diberikan seperti ulasan di bawah.

Baca Juga: Kalimat Terbuka dan Tertutup

Langkah – Langkah Melengkapi Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Hasil dari nilai kebenaran dari proposisi majemuk mengikuti aturan penalaran pada operator logika yang digunakan. Operator logika yang digunakan dapat berupa konjungsi (∧), disjungsi (∨), implikasi (→), atau biimplikasi (↔). Untuk itu perlu mengingat kembali aturan penalaran menentukan nilai kebenaran yang berlaku untuk keempat operator logika tersebut.

  1. Konjungsi akan bernilai benar jika semua pernyataan bernilai benar, selain itu salah
  2. Disjungsi akan bernilai benar jika ada salah satu penyataan bernilai benar
  3. Implikasi akan bernilai salah jika anteseden (sebab/alasan/hipotesa) bernilai benar dan konsekuen (akibat/kesimpulan/konklusi) bernilai salah, selain itu bernilai benar
  4. Biimplikasi hanya akan bernilai benar jika anteseden dan konsukeun memiliki nilai kebenaran yang sama

Tingkat kekuatan operator logika atau kata penghubung dalam logika matematika dari yang lemah ke kuat berturut – turut adalah negasi/ingkaran, konjungsi/disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

Tingkat Kekuatan Operator Logika Matematika

Penentuan nilai kebenaran dimulai dari operator yang lemah ke operator yang lebih kuat. Namun jika terdapat proposisi majemuk dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.

Ada beberapa tahapan yang perlu dilakukan untuk melengkapi tabel kebenaran. Secara singkat, langkah – langkah melengkapi tabel kebenaran diberikan seperti berikut.

  1. Buat tabel dengan ukuran menyesuaikan proposisi majemuk yang diberikan
  2. Isi tabel pernyataan dengan kombinasi nilai kebenaran benar dan salah
  3. Lengkapi tabel sesuai dengan aturan penalaran pada operator logika

Simak cara melengkapi tabel kebenaran dalam logika matematika di bawah untuk menambah pemahaman sobat idschool.

Baca Juga: Cara Menentukan Domain, Kodomain, dan Range

Contoh Cara Melengkapi Tabel Kebenaran

Contoh cara melengkapi tabel kebenaran di bawah akan diberikan dalam dua contoh soal. Pertama adalah contoh yang melibatkan dua pernyataan. Kedua adalah contoh yang melibatkan tiga pernyataan. Selanjutnya, simak kedua contoh berikut.

Contoh 1 – Melengkapi Tabel Kebenaran untuk 2 Proposisi Tunggal

Buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika: p → q ↔ p ∧ ~q

Pertama, pisahkan satu persatu proposisi majemuk berdasarkan operator logika. Hasil untuk contoh soal di atas adalah sebagai berikut.

  • p → q
  • p ∧ ~q
  • p → q ↔ p ∧ ~q

Kolom yang dibutuhkan untuk membuat tabel kebenaran pada ekspresi logika di atas meliputi kolom p, q, ~q, p → q, p ∧ ~q, dan p → q ↔ p ∧ ~q (ada 6 kolom). Banyaknya proposi tunggal ada 2 sehingga banyaknya kombinasi nilai kebenaran ada sebanyak 22 = 4. Jadi, banyak baris yang dibutuhkan adalah 4 baris + 1 kolom untuk ekspresi logika.

Bentuk kolom tersebut menjadi seperti yang terlihat di bawah.

Contoh Soal Melengkapi Tabel Kebenaran Logika Matematika

Selanjutnya sobat idschool perlu melengkapi kolom tabel kebenaran satu persatu. Mulai dari kolom paling kiri.

  1. Negasi q atau ~q mempunyai nilai kebenaran yang berkebalikan dengan nilai kebenaran q. Untuk melengkapi nilai kebenaran pada kolom ~q, sobat idschool hanya perlu memperhatikan kolom q. Hasil nilai kebenaran untuk mengisi kolom ~q berturut – turut adalah S, B, S, B.
  2. Implikasi akan bernilai salah jika anteseden (p) bernilai benar dan konsekuen (q) bernilai salah, selain itu nilaninya benar. Untuk melengkapi nilai kebenaran pada kolom ini perlu memperhatikan dua kolom, p dan q. Nilai kebenaran untuk mengisi kolom p → beruturut – turut adalah B, S, B, B
  3. Berikutnya melengkapi nilai kebenaran pada kolom p ∧ ~q. Konjungsi hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Untuk melengkapi kolom ini, perhatikan kolom p dan ~q. Hasil nilai kebenaran untuk kolom p ∧ ~q berturut – turut adalah S, B, S, S.
  4. Langkah terakhir adalah melengkapi kolom untuk ekspresi logika p → q ↔ p ∧ ~q. Suatu biimplikasi (↔) hanya akan bernilai benar jika anteseden dan konsekuen memiliki nilai kebenaran yang sama. Untuk melengkapi kolom p → q ↔ p ∧ ~q perlu meperhatikan dua kolom yaitu p → q dan p ∧ ~q. Hasil nilai kebenaran untuk biimplikasi p → q dan p ∧ ~q berturut – turut adalah S, S, S, S.

Sampai di sini, sobat idschool sudah selesai untuk melengkapi semua kolom pada tabel kebenaran. Hasil pada langkah – langkah di atas dapat terlihat jelas seperti pada tabel kebenaran yang telah dilengkapi berikut.

Cara Melengkapi Tabel Kebenaran dalam Logika Matematika

Baca Juga: Cara Menentukan Banyak Pemetaan

Contoh 2 – Melengkapi Tabel Kebenaran untuk 3 Proposisi Tunggal

Buatlah tabel kebenaran untuk ekspresi logika: [(p→q) ∧ (~q ∨ r)] → (p→r)

Banyaknya proposi tunggal ada 3 sehingga banyaknya kombinasi nilai kebenaran ada sebanyak 23 = 8. Jadi, banyak baris yang dibutuhkan adalah 8 baris + 1 kolom untuk ekspresi logika.

Kolom yang dibutuhkan untuk membuat tabel kebenaran pada ekspresi logika di atas meliputi kolom p, q, r, (p→q), (~q ∨ r), p→r, (p→q) ∧ (~q ∨ r), dan [(p→q) ∧ (~q ∨ r)]→(p→r). Banyaknya kolom yang dibutuhkan adalah sebanyak 8 kolom.

Bentuk tabel kebenaran yang dibutuhkan untuk ekspresi logika pada contoh dapat terlihat seperti berikut.

Contoh Soal Melengkapi Tabel Kebenaran Logika Matematika untuk 3 Proposisi

Selanjutnya sobat idschool hanya perlu mengisi tabel kebenaran yang kosong tersebut sesuai operator logika yang diberikan. Dengan mengikuti langkah seperti pada contoh sebelumnya akan tersisi semua nilai kebenaran pada tabel di atas.

Hasil melengkapi nilai kebenaran untuk tabel kebenaran untuk ekspresi logika [(p→q) ∧ (~q ∨ r)]→(p→r) diberikan seperti berikut.

Cara Melengkapi Tabel Kebenaran dalam Logika Matematika untuk 3 Proposisi

Sekian ulasan materi cara melengkapi tabel kebenaran dalam logika matematika. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat. Baca Juga:

Baca Juga: Pola Bilangan dan Rumus Un Untuk Pola Bilangan

Source link

Categories Belajar

Leave a Comment